1. Kuptimi i serisë numerike
Le të jetë \((a_n)_{n\geq 1}\) një varg numrash realë. Shprehja formale
quhet seri numerike. Vargu i shumave të pjesshme përcaktohet nga
Seria \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) është konvergjente nëse ekziston kufiri i fundëm \(S=\lim_{N\to\infty}S_N\). Në të kundërt, seria quhet divergjente.
2. Kushti i domosdoshëm i konvergjencës
Nëse seria \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) konvergjon, atëherë \(\lim_{n\to\infty}a_n=0\).
3. Seria gjeometrike
Për \(a\in\mathbb R\) dhe \(r\in\mathbb R\), marrim serinë \(\sum_{n=0}^{\infty}ar^n\). Kur \(r\ne1\), shuma e pjesshme është
Nëse \(a\ne0\), seria gjeometrike konvergjon atëherë dhe vetëm atëherë kur \(|r|<1\); në këtë rast shuma është \(\displaystyle\frac a{1-r}\). Për \(a=0\), seria është zero për çdo \(r\).
4. Shembull i zgjidhur
Të gjendet shuma e serisë \(\sum_{n=0}^{\infty}3(\frac14)^n\).
Identifikojmë \(a=3\) dhe \(r=\frac14\).
Verifikojmë \(|r|=\frac14<1\), ndaj seria konvergjon.
Llogarisim \(\displaystyle S=\frac3{1-\frac14}=4\).