Leksioni 04 · Renditja akademike e riorganizuar · 2026–2027

Seritë funksionale
dhe kriteret e konvergjencës

Prof. As. Dr. Siditë Duraj

Kapitull universitar: nga kushti uniform i Koshit te kriteri majorant i Vajershtrasit dhe kriteri i Diriklesë. Teorema të argumentuara, kundërshembuj, harta konceptuale, animacione, ushtrime dhe vetëvlerësim.

Leksioni i plotë PDF 10 ushtrime të zgjidhura PDF Hap laboratorin

01 / Organizimi i njohurive

Harta konceptuale

Prek çdo nyje për të parë rolin e saj në argumentimin matematikor.

Zgjidh një koncept për të lexuar shpjegimin dhe lidhjen me kriteret e tjera.

02 / Teoria dhe vërtetimet

Seria funksionale si varg shumash të pjesshme

Për funksionet \(u_n:E\to\mathbb R\), serisë \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\) i shoqërojmë vargun \(S_N(x)=\sum_{n=1}^{N}u_n(x)\). Konvergjenca e serisë përcaktohet vetëm përmes këtij vargu.

\[\forall\varepsilon>0\ \exists N_0\ \forall N\ge N_0\ \forall x\in E:\quad |S_N(x)-S(x)|<\varepsilon.\]

Kur rendi i kuantifikatorëve lejon \(N_0\) të varet nga \(x\), kemi vetëm konvergjencë pikësore; pavarësia nga \(x\) është dallimi themelor i konvergjencës uniforme.

Teorema 4.1 — Kriteri uniform i Koshit. Seria \(\sum u_n\) konvergjon uniformisht në \(E\) atëherë dhe vetëm atëherë kur për çdo \(\varepsilon>0\) ekziston \(N_0\), i pavarur nga \(x\), që për \(m>n\ge N_0\) dhe \(x\in E\) të vlejë

\[\left|\sum_{k=n+1}^{m}u_k(x)\right|<\varepsilon.\]

Vërtetim. Nëse \(S_N\to S\) uniformisht, pabarazia trekëndore jep \(|S_m-S_n|\le |S_m-S|+|S_n-S|\), dhe të dy termat bëhen më të vegjël se \(\varepsilon/2\) uniformisht. Anasjelltas, për çdo \(x\), vargu \((S_N(x))\) është i Koshit dhe konvergjon në \(S(x)\) nga plotësia e \(\mathbb R\). Duke kaluar në limit në \(m\) në kushtin e Koshit me prag \(\varepsilon/2\), përfitojmë \(|S_n(x)-S(x)|\le\varepsilon/2\), njëtrajtshëm për të gjitha \(x\in E\).

Teorema 4.2 — Kriteri majorant i Vajershtrasit (Weierstrass). Nëse \(|u_n(x)|\le M_n\) për çdo \(x\in E\), ku \(M_n\ge0\) dhe \(\sum M_n\) konvergjon, atëherë seria konvergjon uniformisht dhe absolutisht në \(E\).

Vërtetim. Për çdo \(m>n\), \(\left|\sum_{k=n+1}^m u_k(x)\right|\le\sum_{k=n+1}^m M_k\). Bishti i serisë numerike \(\sum M_n\) mund të bëhet arbitrarisht i vogël pavarësisht nga \(x\); zbatimi i kriterit uniform të Koshit përfundon vërtetimin.

\[\sup_{x\in E}|S(x)-S_N(x)|\le\sum_{n=N+1}^{\infty}M_n.\]

Kujdes logjik. Kriteri majorant është i mjaftueshëm, jo i domosdoshëm. Mospasja e një majoranti të mbledhshëm nuk provon divergjencën dhe as mungesën e konvergjencës uniforme.

Teorema 4.3 — Kriteri uniform i Diriklesë. Supozojmë se shumat e pjesshme \(A_N(x)=\sum_{k=1}^{N}a_k(x)\) janë uniformisht të kufizuara, \(b_n(x)\ge0\) është jobrritës sipas \(n\) për çdo \(x\), dhe \(\sup_{x\in E}b_n(x)\to0\). Atëherë \(\sum a_n(x)b_n(x)\) konvergjon uniformisht në \(E\).

Ideja e vërtetimit. Mbledhja sipas pjesëve dhe \(|\sum_{j=n+1}^{k}a_j(x)|\le2C\) japin vlerësimin uniform të bishtit \(\left|\sum_{k=n+1}^{m}a_k(x)b_k(x)\right|\le2C b_{n+1}(x)\). Meqë ana e djathtë priret uniformisht në zero, zbatohet kriteri uniform i Koshit. Vërtetimi i plotë është në PDF.

03 / Shembuj të argumentuar

Çfarë provon dhe çfarë nuk provon një kriter?

Shumat e pjesshme të serisë gjeometrike krahasuar me 1 mbi 1 minus x — Seria gjeometrike është uniforme në çdo segment \([0,r]\), \(r<1\), por jo në \([0,1)\).

Shembulli 1. Për \(x\in[0,1)\), seria \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) ka shumë \(1/(1-x)\), por bishti \(x^{N+1}/(1-x)\) nuk mund të kufizohet në mënyrë uniforme në gjithë \([0,1)\).

Shumat e pjesshme të serisë alternuese krahasuar me logaritmin — Një seri alternuese që konvergjon uniformisht në \([0,1]\) megjithëse nuk plotëson kriterin M.

Shembulli 2. Seria \(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}x^n/n\) konvergjon uniformisht në \([0,1]\), sepse mbetja është jo më e madhe se \(1/(N+1)\). Por \(\sum\sup_{[0,1]}|u_n|=\sum1/n\) divergon.

07 / Thellim teorik

Abeli, marrëdhëniet logjike dhe kontrolli i mbetjes

Kriteri uniform i Abelit. Nëse \(\sum a_n(x)\) konvergjon uniformisht në \(E\), \(0\le b_{n+1}(x)\le b_n(x)\le B\) për të gjitha \(n,x\), atëherë edhe \(\sum a_n(x)b_n(x)\) konvergjon uniformisht. Vërtetimi i plotë përdor mbledhjen sipas pjesëve dhe gjendet në PDF.

\[\sum_{k=n}^{m}a_kb_k=A_m^{(n)}b_m+\sum_{k=n}^{m-1}A_k^{(n)}(b_k-b_{k+1}).\]

Dallim thelbësor: Konvergjenca absolute në çdo pikë dhe konvergjenca uniforme janë veti jo të krahasueshme në përgjithësi. Për shembujt e provuar shih seksionin përkatës në PDF.

Hartë e marrëdhënieve dhe e kritereve për seritë funksionale — Hartë konceptuale për orientim; shigjetat nuk përfaqësojnë automatikisht implikime.

Vlerësimi i garantuar i mbetjes

\[\sup_{x\in E}|S(x)-S_N(x)|\le\sum_{n=N+1}^{\infty}M_n.\]

Për \(u_n(x)=\sin(nx)/n^2\), kemi \(\sup_x|S(x)-S_N(x)|\le 1/N\). Kështu \(N=1000\) garanton gabim jo më të madh se \(10^{-3}\).

Kufi teorik për gabimin uniform të serive me majorant një mbi n në katror — Garancia e gabimit në varësi të numrit të termave.

04 / Eksperiment matematikor i animuar

Laboratori i konvergjencës

Ndrysho numrin e kufizave të shumës së pjesshme dhe krahaso grafikisht \(S_N\) me shumën përfundimtare. Eksperimenti numerik nuk zëvendëson vërtetimin.

Familja e serive

Numri i termave: 8

Shuma e pjesshmeKufiri teorik

Animacioni mund të ndalet. Nëse pajisja kërkon lëvizje të reduktuar, ai nuk fillon automatikisht.

05 / Zgjidhje me zbulim progresiv

Ushtrime hap pas hapi

Fillimisht lexo problemin. Zbulo vetëm një hap në çdo klikim dhe krahaso metodën me zgjidhjen tënde. Fletorja PDF përmban dhjetë ushtrime të plota.

06 / Vetëvlerësim

Kuiz diagnostikues

Tetë pyetje mbi hipotezat, kriteret dhe kundërshembujt. Pas përgjigjes shfaqet argumentimi përkatës.

Përgjigjet nuk janë dhënë ende.

Seritë funksionaledhe kriteret e konvergjencës