Leksioni 04 — Seritë e Taylor-it dhe aplikimet

Universiteti i Shkodrës “Luigj Gurakuqi” · Fakulteti i Shkencave të Natyrës · Departamenti i Matematikës
Autore dhe pedagoge: Prof. As. Dr. Siditë Duraj
Analizë Matematike III · Cikli i parë i studimeve në Matematikë · 2026–2027

1. Objektivat dhe lidhja me Leksionin 3

Në përfundim të kapitullit studenti duhet: (i) të ndërtojë polinomin e Taylor-it nga derivatet; (ii) të dallojë identitetin e Taylor-it me mbetje nga përfaqësimi si seri e pafundme; (iii) të vërtetojë formulën e mbetjes në formën e Lagranzhit; (iv) të kontrollojë kushtet e vlefshmërisë të zhvillimeve klasike; (v) të prodhojë kufij rigorozë të gabimit dhe të zgjedhë rendin e përafrimit.

Njohuritë paraprake janë derivatet e rendit të lartë, teorema e Rolle-it, teorema e vlerës mesatare, konvergjenca e serive numerike, seritë e fuqive dhe konvergjenca e tyre lokale. Ndryshe nga analiza e një serie formale, kalimi nga funksioni në serinë e tij kërkon një argument shtesë për mbetjen.

2. Polinomi i Taylor-it dhe kushtet e kontaktit

Përkufizim 4.1. Le të jetë \(f\) e derivueshme \(n\) herë në një rrethinë të pikës \(a\). Polinomi i Taylor-it me rend \(n\) rreth \(a\) është

\[T_{n,a}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.\]

Për \(a=0\) përdorim emrin polinom i Maclaurin-it. Polinomi plotëson \(T_{n,a}^{(j)}(a)=f^{(j)}(a)\) për çdo \(0\le j\le n\). Kjo nuk thotë se \(T_{n,a}(x)=f(x)\) për \(x\ne a\).

Propozim 4.1 (unikësia). Polinomi me shkallë jo më të madhe se \(n\) që ka të njëjtat \(n+1\) vlera të derivateve në \(a\) është unik.

Vërtetim. Nëse \(P,Q\) plotësojnë kushtet, \(H=P-Q\) ka \(H^{(j)}(a)=0\) për \(0\le j\le n\). Duke shkruar \(H(x)=\sum_{j=0}^{n}c_j(x-a)^j\), marrim \(j!c_j=H^{(j)}(a)=0\); pra \(H=0\). \(\square\)

3. Formula e Taylor-it me mbetje

Teoremë 4.1 (forma e Lagranzhit). Le të jetë \(f\) e vazhdueshme në segmentin me skaje \(a,x\) dhe me derivate deri në rend \(n+1\) në brendësinë e tij (me derivatet deri në rend \(n\) të përcaktuara në \(a\)). Atëherë ekziston \(\xi\) rreptësisht ndërmjet \(a\) dhe \(x\) i tillë që

\[f(x)=T_{n,a}(x)+R_{n,a}(x),\qquad R_{n,a}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.\]

Vërtetim (me Rolle të përgjithësuar). Për \(x\ne a\) shënojmë \(E=f(x)-T_{n,a}(x)\) dhe marrim \(K=E/(x-a)^{n+1}\). Vendosim \(F(t)=f(t)-T_{n,a}(t)-K(t-a)^{n+1}\). Kemi \(F(x)=0\) dhe \(F^{(j)}(a)=0\) për \(j=0,\ldots,n\). Duke zbatuar teoremën e Rolle-it \(n+1\) herë (ose versionin e saj të përgjithësuar), ekziston \(\xi\) midis \(a\) dhe \(x\) me \(F^{(n+1)}(\xi)=0\). Meqë \(T_{n,a}^{(n+1)}=0\), del \(f^{(n+1)}(\xi)-(n+1)!K=0\). Zëvendësimi i \(K\) jep formulën. Për \(x=a\), mbetja është zero. \(\square\)

Rrjedhim 4.1 (kufiri uniform i mbetjes). Nëse \(|f^{(n+1)}(t)|\le M\) në segmentin ndërmjet \(a\) dhe \(x\), atëherë

\[|R_{n,a}(x)|\le \frac{M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.\]

Ky është një kufi rigoroz, jo një përafrim i marrë nga grafiku. Numri \(M\) duhet justifikuar për gjithë segmentin.

4. Kur Taylor-i përfaqëson vërtet funksionin?

Teoremë 4.2 (kriteri i mbetjes). Nëse \(f\) ka derivate të çdo rendi në një rrethinë të \(a\) dhe për një \(x\) të caktuar vlen \(R_{n,a}(x)\to0\) kur \(n\to\infty\), atëherë

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.\]

Vërtetim. Nga identiteti i Taylor-it, \(f(x)-T_{n,a}(x)=R_{n,a}(x)\). Duke kaluar në limit, \(T_{n,a}(x)\to f(x)\); kjo është pikërisht përkufizimi i shumës së serisë. \(\square\)

Kundërshembull vendimtar. Funksioni \(g(x)=e^{-1/x^2}\) për \(x\ne0\) dhe \(g(0)=0\) është \(C^{\infty}\) në \(\mathbb R\), por \(g^{(n)}(0)=0\) për çdo \(n\ge0\). Seria Taylor në zero është identikisht zero, ndërsa \(g(x)>0\) kur \(x\ne0\). Pra pafundësia e derivueshmërisë nuk garanton analiticitetin.

5. Zhvillimet klasike dhe bashkësitë e vlefshmërisë

Funksioni eksponencial. Për çdo \(x\in\mathbb R\),

\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.\]

Argument. Në segmentin ndërmjet \(0\) dhe \(x\), \(|e^t|\le e^{|x|}\); prandaj \(|R_{n,0}(x)|\le e^{|x|}|x|^{n+1}/(n+1)!\to0\) (kriteri i raportit për vargun e majorantëve).

Sinusi dhe kosinusi. Për çdo \(x\in\mathbb R\),

\[\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}.\]

Derivatet e çdo rendi kanë vlerë absolute jo më të madhe se \(1\); formula e mbetjes jep konvergjencë drejt funksionit në çdo pikë reale.

Logaritmi. Për \(-1<x\le1\) kemi

\[\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}.\]

Derivim i kontrolluar. Për \(|x|<1\), seria gjeometrike \(1/(1+t)=\sum_{n=0}^{\infty}(-t)^n\) konvergjon uniformisht në çdo segment kompakt të \((-1,1)\), kështu lejohet integrimi term pas termi nga \(0\) te \(x\). Në \(x=1\), seria alternuese konvergjon dhe shuma është \(\ln2\) nga teorema e Abelit për kalimin te skaji (ose nga një argument integral i mbetjes). Në \(x=-1\) seria bëhet \(-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) dhe divergon; funksioni gjithashtu nuk është i përcaktuar atje.

Kujdes. Derivimi ose integrimi term pas termi kryhet vetëm në domenet ku justifikohet. Nuk lejohet zëvendësimi \(x=2\) në serinë e logaritmit.

6. Përafrime me gabim të certifikuar

Shembull 4.1. Të përafrohet \(e^{1/2}\) me polinom rendi \(4\) rreth zeros dhe të vlerësohet gabimi.

\[T_{4,0}(1/2)=1+\frac12+\frac18+\frac1{48}+\frac1{384}=\frac{211}{128}=1.6484375.\]

Në \([0,1/2]\) kemi \(e^t\le e^{1/2}<2\) (p.sh. nga monotonia dhe vlerësimi standard \(e^{1/2}<2\)). Prandaj

\[\left|e^{1/2}-\frac{211}{128}\right|\le\frac{2(1/2)^5}{5!}=\frac1{1920}<0.000521.\]

Ky kufi është konservativ, por matematikisht i garantuar. Vlera numerike e një programi nuk është provë e pabarazisë.

Shembull 4.2. Për \(0\le x\le1\), seria e logaritmit është alternuese me madhësi të termave \(b_n=x^n/n\) që bien në zero; prandaj, pas \(N\) termash,

\[\left|\ln(1+x)-\sum_{n=1}^{N}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\right|\le\frac{x^{N+1}}{N+1}.\]

Ky është vlerësimi i Leibnizit; nuk duhet aplikuar pa monotoninë e kufizave absolute.

7. Gabimet metodologjike më të zakonshme

1. Barazimi i funksionit me serinë pa kontroll të mbetjes. Derivatet në një pikë përcaktojnë koeficientët, por jo domosdoshmërisht shumën.
2. Heqja e domenit të vlefshmërisë. Shënimi \(\ln(1+x)=x-x^2/2+\cdots\) pa kushtin \(-1<x\le1\) është i paplotë.
3. Zëvendësimi i gabimit real me madhësinë e termit të parë të lënë jashtë. Ky vlerësim është i vlefshëm për seri alternuese vetëm nën hipotezat e kriterit të Leibnizit.
4. Përdorimi i një kufiri \(M\) pa e provuar. Kufiri mbi derivatin duhet të jetë i vlefshëm në të gjithë segmentin relevant.
5. Keqinterpretimi i një figure numerike. Një grafik i \(T_n(x)\) për disa \(n\) nuk provon që mbetja shkon në zero.

8. Ushtrime të propozuara për seminare

1. Provoni nga përkufizimi që \(T_{n,a}\) është i vetmi polinom me kushtet e kontaktit në \(a\).
2. Shkruani \(T_{5,0}\) për \(\sin x\) dhe vlerësoni mbetjen në \(x=0.4\).
3. Përdorni formën e Lagranzhit për të certifikuar përafrimin e \(\cos(0.2)\) me \(1-x^2/2\).
4. Gjeni sa terma të serisë alternuese të \(\ln2\) mjaftojnë që gabimi të jetë nën \(10^{-3}\).
5. Shpjegoni pse funksioni i sheshtë \(g(x)\) nuk është analitik në \(0\) edhe pse është \(C^\infty\).

9. Literatura dhe standardi i argumentimit

Literaturë orientuese: Ofendija, Analiza Matematike II, kapitulli mbi formulën dhe seritë e Taylor-it; Apostol, Mathematical Analysis, kapitulli për zhvillimet Taylor. Teoremat dhe ushtrimet janë paraqitur si material didaktik për kontroll akademik. Figura numerike apo laboratorët shërbejnë për interpretim, jo si zëvendësim i vërtetimeve.