ANALIZË MATEMATIKE IIIProf. As. Dr. Siditë Duraj · Universiteti i Shkodrës “Luigj Gurakuqi”
Faqja kryesore
LEKSIONI 05 · RENDITJA E RIORGANIZUAR

Kalimi në limit për vargjet dhe seritë funksionale

Vazhdueshmëria · Integrimi · Derivimi

Prof. As. Dr. Siditë Duraj

Cikli i parë i studimeve në Matematikë · 2026–2027

Leksioni i plotë PDF10 ushtrime të zgjidhura PDFHap laboratorin
01 / HARTA KONCEPTUALE

Çfarë mund të kalojë nën shenjën e limitit?

Zgjidh një nyje për të lexuar hipotezat dhe rrjedhimin e saj.
02 / TEORIA DHE VËRTETIMET KRYESORE

Teoremat dhe vërtetimet

Le të jenë \(f_n,f:E\to\mathbb R\). Konvergjenca uniforme nënkupton se për çdo \(\varepsilon>0\), ekziston \(N_\varepsilon\) që nuk varet nga \(x\), dhe për të gjithë \(n\ge N_\varepsilon\), \(x\in E\):

\[|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.\]
Teorema 5.1 — Ruajtja e vazhdueshmërisë. Nëse të gjitha \(f_n\) janë të vazhdueshme dhe \(f_n\to f\) uniformisht, atëherë \(f\) është i vazhdueshëm.

Vërtetim. Për \(x_0\in E\) fiksojmë \(\varepsilon>0\). Marrim \(N\) të tillë që \(|f_N(x)-f(x)|<\varepsilon/3\) për çdo \(x\in E\). Nga vazhdueshmëria e \(f_N\) në \(x_0\), ekziston \(\delta>0\) që \(|f_N(x)-f_N(x_0)|<\varepsilon/3\) për \(|x-x_0|<\delta\). Pabarazia trekëndore jep:

\[\begin{aligned}|f(x)-f(x_0)|&\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|\\&\quad+|f_N(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon.\end{aligned}\]
Grafikët e x në fuqi n dhe kufiri pikësor
Figura 5.1. Funksionet \(x^n\) nuk konvergojnë uniformisht në \([0,1]\).
Teorema 5.2 — Kalimi nën integral. Nëse \(f_n\in C([a,b])\) dhe \(f_n\to f\) uniformisht, atëherë \(f\in C([a,b])\) dhe
\[\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx.\]

Vërtetim. Integrueshmëria rrjedh nga vazhdueshmëria e kufirit. Përdorim vlerësimin uniform

\[\left|\int_a^b(f_n-f)\right|\le(b-a)\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|\longrightarrow0.\]
Kundërshembull vendimtar. Për \(f_n(x)=n^2x(1-x)^n\) në \([0,1]\), kemi \(f_n(x)\to0\) pikësisht, por \(\int_0^1 f_n(x)\,dx=n^2/((n+1)(n+2))\to1\).
Grafikët e funksioneve të përqendruara, me integrale që shkojnë drejt 1
Figura 5.2. Kufiri pikësor nuk përcakton kufirin e integraleve.
Teorema 5.3 — Kalimi nën derivat. Nëse \(f_n\in C^1([a,b])\), vargu i vlerave \(f_n(x_0)\) konvergjon dhe \(f_n'\to g\) uniformisht, atëherë \(f_n\to f\) uniformisht dhe \(f'=g\).

Vërtetim. Nga teorema themelore e analizës kemi \(f_n(x)=f_n(x_0)+\int_{x_0}^{x} f_n'(t)\,dt\). Nëse \(c=\lim f_n(x_0)\), vendosim \(f(x)=c+\int_{x_0}^{x}g(t)\,dt\). Atëherë

\[\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|\le |f_n(x_0)-c|+(b-a)\sup_{[a,b]}|f_n'-g|\to0.\]

Meqenëse \(g\) është i vazhdueshëm, teorema themelore jep \(f'=g\). Përderisa këtu kemi vetëm një varg funksionesh, nuk duhet ngatërruar shprehja \(f_n(x_0)\) me një seri numerike.

Përafrimi uniform i vlerës absolute me funksione të derivueshme
Figura 5.3. \(\sqrt{x^{2}+\frac{1}{n}}\to |x|\) uniformisht, por kufiri nuk është i derivueshëm në zero.
Teorema 5.4 — Seritë funksionale. Nëse \(\sum u_n\) konvergjon uniformisht dhe \(u_n\in C([a,b])\), atëherë shuma është e vazhdueshme dhe mund të integrohet term pas termi. Për derivimin term pas termi kërkohet konvergjenca uniforme e \(\sum u'_n\) dhe konvergjenca e \(\sum u_n(x_0)\) në të paktën një pikë.

Vërtetimi i plotë i teoremave, bashkë me hipotezat në skaje dhe shembujt përkatës, gjendet në PDF-në integrale të kapitullit.

03 / LABORATORI I ANIMUAR

Kur dështon kalimi në limit?

Ndrysho numrin e anëtarëve dhe zgjidh familjen e funksioneve. Pamja paraqet një eksperiment numerik, jo provë.

04 / PRAKTIKË E UDHËHEQUR

Ushtrime me zbulim progresiv

Fletorja shoqëruese përmban 10 ushtrime të zgjidhura me shpjegime të plota në PDF.

05 / VETËVLERËSIM

Kontrolli i kuptimit

Zgjidh alternativat dhe merr shpjegimin matematikor për secilën përgjigje.

Përgjigjet nuk janë kontrolluar.