Qëllimi dhe rezultatet e të nxënit

Ky kapitull ndërton bazën matematikore të përfaqësimit trigonometrik të funksioneve periodike. Duhet dalluar ekzistenca e koeficientëve nga konvergjenca e serisë trigonometrike. Llogaritja e integraleve që prodhojnë koeficientët, në vetvete, nuk provon që seria përfaqëson funksionin në çdo pikë.

Pas studimit studenti duhet të (i) provojë relacionet e ortogonalitetit; (ii) ndërtojë koeficientët e një zhvillimi trigonometrik; (iii) shfrytëzojë simetrinë çift/tek; (iv) njehsojë polinomin trigonometrik të rendit \(N\); (v) përdorë interpretimin si projeksion ortogonal në hapësirën \(L^2\); dhe (vi) dallojë përfundimet e sigurta nga pohimet që kërkojnë teoremat e konvergjencës të Leksionit 6.

Parakushte. Integrali i Riemann-it, identitetet trigonometrike, integrimi me pjesë, lineariteti i integralit, funksionet çift dhe tek, shumat e fundme, nocioni i produktit skalar.

1. Nga sinjalet periodike te polinomet trigonometrike

Një funksion \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) quhet \(2\pi\)-periodik nëse \(f(x+2\pi)=f(x)\) për çdo \(x\). Për funksione të tilla, sistemi natyror i funksioneve bazë është

\[1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\ldots.\]

Përkufizim 5.1. Polinomi trigonometrik i rendit jo më të madh se \(N\) ka formën

\[T_N(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).\]

Koeficientët janë numra realë. Përderisa shuma ka një numër të fundmë termash, \(T_N\) është i vazhdueshëm, i derivueshëm dhe \(2\pi\)-periodik; ky pohim nuk mund të transferohet pa argument te një seri e pafundme.

Një seri trigonometrike është shprehja formale

\[\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).\]

E trajtojmë si seri funksionesh: çdo mënyrë konvergjence duhet deklaruar shprehimisht (pikësore, uniforme ose në normën \(L^2\)).

2. Teorema e ortogonalitetit

Teorema 5.1 (ortogonaliteti në \([-\pi,\pi]\)). Për \(m,n\geq1\):

\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=\begin{cases}\pi,&m=n,\\0,&m\ne n,\end{cases}\]

\[\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)\,dx=\begin{cases}\pi,&m=n,\\0,&m\ne n,\end{cases}\]

\[\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)\,dx=0.\]

Për më tepër, \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0\), kurse \(\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi\).

Vërtetim. Nga identitetet produkt–shumë:

\[2\cos(nx)\cos(mx)=\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x),\]

\[2\sin(nx)\sin(mx)=\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x),\]

\[2\sin(nx)\cos(mx)=\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x).\]

Për çdo numër të plotë \(k\ne0\), \(\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\,dx=0\), ndërsa integrali i \(\sin(kx)\) është zero nga pariteti. Në rastin \(n=m\), në identitetin e parë ose të dytë shfaqet termi konstant \(1\) me integral \(2\pi\), dhe faktori \(1/2\) prodhon \(\pi\). Kështu provohen të tre formulat. \(\square\)

Vërejtje metodologjike. Integrali i prodhimit është zero, por kjo nuk nënkupton se funksionet nuk kanë pika ku të dyja janë të ndryshme nga zero. Ortogonaliteti është pronë integrale, jo pikësore.

3. Koeficientët e Fourier-it: nxjerrja e formulave

Teorema 5.2 (uniciteti i koeficientëve në një përfaqësim të fundmë). Nëse \(f=T_N\) është një polinom trigonometrik, atëherë koeficientët e tij përcaktohen në mënyrë unike nga

\[\boxed{a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx},\]

\[\boxed{a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx},\qquad \boxed{b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx}.\]

Vërtetim. Integrimi i identitetit \(f(x)=T_N(x)\) eliminon të gjitha harmoniket jo konstante dhe jep \(\int f=\pi a_0\). Shumëzimi i identitetit me \(\cos(mx)\), ndjekur nga integrimi, eliminon çdo term përveç \(a_m\cos^2(mx)\), prandaj \(\int f\cos(mx)=\pi a_m\) nëse \(1\le m\le N\). Analogjikisht, \(\int f\sin(mx)=\pi b_m\). Kjo provon formulat dhe unicitetin. \(\square\)

Përkufizim 5.2 (koeficientët për një funksion të integrueshëm). Nëse \(f\) është \(2\pi\)-periodik dhe i integrueshëm në \([-\pi,\pi]\), integralet e mësipërme përkufizojnë koeficientët e Fourier-it edhe nëse nuk dihet ende nëse seria e Fourier-it e \(f\) konvergjon drejt \(f\).

Kjo ndarje logjike është thelbësore. Në veçanti, nuk lejohet të shkruhet automatikisht \(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n\geq1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\) për çdo funksion të integrueshëm dhe për çdo \(x\) pa vendosur një teoremë konvergjence.

4. Simetria e funksionit dhe kursimi i njehsimeve

Teorema 5.3. Nëse \(f\) është çift, \(f(-x)=f(x)\), atëherë të gjithë \(b_n=0\) dhe

\[a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx\quad(n\geq0).\]

Nëse \(f\) është tek, \(f(-x)=-f(x)\), atëherë \(a_n=0\) për çdo \(n\geq0\) dhe

\[b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.\]

Vërtetim. Produkti i një funksioni çift me sinusin tek është tek dhe ka integral zero në interval simetrik. Po ashtu, produkti i një funksioni tek me kosinusin çift është tek. Produktet me paritet çift integrohen në \([-\pi,\pi]\) si dyfishi i integralit në \([0,\pi]\). \(\square\)

Kujdes. Pariteti i \(f\) gjykohet në intervalin simetrik dhe për zgjerimin periodik të zgjedhur; nuk përcaktohet nga pamja e vetëm një gjysmëperiudhe pa deklaruar zgjerimin.

5. Interpretimi si projeksion optimal në hapësirën \(L^2\)

Për funksione reale katror-integrueshme vendosim produktin skalar

\[\langle f,g\rangle=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx.\]

Norma e bazës është \(\lVert1\rVert^2=2\) dhe \(\lVert\cos(nx)\rVert^2=\lVert\sin(nx)\rVert^2=1\). Nga Teorema 5.1, funksionet e bazës janë reciprokisht ortogonale.

Teorema 5.4 (përafrimi optimal trigonometrik). Le të jetë \(S_N\) polinomi trigonometrik i rendit \(N\), i ndërtuar nga koeficientët e Fourier-it të \(f\in L^2[-\pi,\pi]\). Për çdo polinom trigonometrik \(P_N\) të rendit jo më të madh se \(N\) vlen

\[\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-S_N(x)|^2dx\ \le\ \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)-P_N(x)|^2dx.\]

Vërtetim. Nga përkufizimi i koeficientëve, \(f-S_N\) është ortogonal me secilin element të hapësirës së polinomeve trigonometrike të rendit \(N\). Duke shkruar \(f-P_N=(f-S_N)+(S_N-P_N)\), dy anët në shumën e fundit janë ortogonale. Sipas identitetit të Pitagorës në hapësirën me produkt skalar:

\[\lVert f-P_N\rVert^2=\lVert f-S_N\rVert^2+\lVert S_N-P_N\rVert^2\ge\lVert f-S_N\rVert^2.\]

Kjo provon pohimin. \(\square\)

Pasojë (pabarazia e Bessel-it). Me zgjedhjen e mësipërme të normalizimit, për çdo \(N\ge1\):

\[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{N}(a_n^2+b_n^2)\le\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx.\]

Vërtetim. Vendosni \(P_N=0\) te identiteti i Pitagorës dhe llogaritni \(\lVert S_N\rVert^2\) me ortogonalitetin e bazës. \(\square\)

Kjo pabarazi është një pohim i fundëm dhe nuk kërkon ende teoremën e plotësisë së bazës trigonometrike ose identitetin e Parseval-it.

6. Shembulli I: funksioni sharrë \(f(x)=x\)

Në \((-\pi,\pi)\) marrim \(f(x)=x\) dhe zgjerimin e tij \(2\pi\)-periodik. Funksioni është tek, kështu që \(a_n=0\) për çdo \(n\). Për \(n\ge1\),

\[b_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx.\]

Integrimi me pjesë, me \(u=x\), \(dv=\sin(nx)dx\), jep

\[\int_0^\pi x\sin(nx)dx=\left[-\frac{x\cos(nx)}n\right]_0^\pi+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^\pi=-\frac{\pi(-1)^n}{n}.\]

Prandaj

\[\boxed{b_n=\frac{2(-1)^{n+1}}n}.\]

Seria e Fourier-it e lidhur me funksionin sharrë është

\[2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n\sin(nx).\]

Interpretimi. Figura ilustron afrimin brenda intervalit. Në \(\pm\pi\) zgjerimi periodik ka kërcime; barazia pikësore atje nuk duhet nxjerrë nga vizualizimi. Kushtet dhe vlerat e limiteve shqyrtohen në Leksionin 6.

7. Shembulli II: vala katrore

Vendosim \(f(x)=-1\) për \(-\pi<x<0\) dhe \(f(x)=1\) për \(0<x<\pi\), me zgjerim \(2\pi\)-periodik. Vlerat e vendosura në pikat e kërcimit nuk ndryshojnë koeficientët e Fourier-it. Funksioni është tek dhe

\[b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin(nx)dx=\frac{2}{\pi n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).\]

Prandaj \(b_n=0\) kur \(n\) është çift dhe \(b_n=4/(\pi n)\) kur \(n\) është tek. Kështu seria formale është

\[\boxed{\frac4\pi\left(\sin x+\frac{\sin3x}{3}+\frac{\sin5x}{5}+\cdots\right).}\]

Për praninë e luhatjeve pranë kërcimeve përdoret termi dukuri e Gibbs-it. Një grafik me harmonikë të fundëm nuk e provon as kufirin e tejkalimit, as konvergjencën pikësore. Në Leksionin 6 do të saktësojmë çfarë konvergon dhe në çfarë kuptimi.

8. Shembulli III: funksioni çift \(f(x)=|x|\)

Për \(-\pi\le x\le\pi\), \(f\) është çift; të gjithë \(b_n=0\) dhe

\[a_0=\frac2\pi\int_0^\pi xdx=\pi.\]

Për \(n\ge1\) integrimi me pjesë jep

\[a_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\cos(nx)dx=\frac2{\pi n^2}\bigl((-1)^n-1\bigr).\]

Pra \(a_n=0\) për \(n\) çift dhe \(a_n=-4/(\pi n^2)\) për \(n\) tek; seria e Fourier-it është

\[\boxed{\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos((2k+1)x)}{(2k+1)^2}.}\]

Kjo seri trigonometrike është absolutisht dhe uniformisht konvergjente sipas kriterit të Weierstrass-it, sepse \(|\cos((2k+1)x)|\le1\) dhe \(\sum (2k+1)^{-2}<\infty\). Për identifikimin e shumës me \(|x|\) përdoret teorema përkatëse e unicitetit/konvergjencës që do të trajtohet sistematikisht në Leksionin 6.

9. Procesi i zgjidhjes: nga problemi te përfundimi

1. Periudha. Përcakto nëse intervali është \([-\pi,\pi]\) apo \([-L,L]\) dhe shkruaj normalizimin e duhur.
2. Simetria. Provo nëse funksioni është çift, tek ose pa simetri të dobishme.
3. Koeficientët. Shkruaj formulat integrale përpara njehsimit; argumentoni çdo integrim me pjesë.
4. Kontrolli. Verifiko koeficientin konstant dhe shenjat; një koeficient i gabuar ndryshon gjithë përfaqësimin.
5. Përafrimi. Ndërto \(S_N\) si shumë të fundme, jo si vlerë e pretenduar e shumës së pafundme.
6. Konvergjenca. Identifiko teoremën e nevojshme; mos nxirr barazi pikësore vetëm nga integralet ose nga grafiku.

10. Për periudhën e përgjithshme \(2L\)

Nëse \(f(x+2L)=f(x)\) dhe \(f\) është i integrueshëm në \([-L,L]\), baza bëhet

\[1,\ \cos\frac{n\pi x}{L},\ \sin\frac{n\pi x}{L}\quad(n\ge1),\]

me koeficientët

\[a_0=\frac1L\int_{-L}^L f(x)\,dx,\quad a_n=\frac1L\int_{-L}^L f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx,\]

\[b_n=\frac1L\int_{-L}^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.\]

Argument. Zëvendësimi \(t=\pi x/L\) e transformon integralin në \([-L,L]\) në integralin standard në \([-\pi,\pi]\); kështu rikthehen të njëjtat relacione ortogonaliteti, me faktor normalizues \(1/L\).

11. Gabime metodologjike që duhen shmangur

• Gabimi G1: ngatërrimi i \(a_0\) me termin konstant \(a_0/2\). Korrigjimi: koeficienti llogaritet me \(1/\pi\), por në seri vendoset \(a_0/2\).
• Gabimi G2: përdorimi i formulave për \(2\pi\) për një funksion me periudhë \(2L\). Korrigjimi: kontrollo shkallëzimin \(n\pi/L\) dhe faktorët \(1/L\).
• Gabimi G3: integrim i panevojshëm i koeficientëve sinus për funksion çift. Korrigjimi: zbato paritetin fillimisht.
• Gabimi G4: pohimi \(f=S_\infty\) në çdo pikë për çdo funksion të integrueshëm. Korrigjimi: kërko teoremë konvergjence, me hipoteza të saktësuara.
• Gabimi G5: interpretimi i ortogonalitetit si mosprerje e grafikëve. Korrigjimi: përdor integralin e produktit.
• Gabimi G6: deklarimi i një prove nga 20 ose 100 harmonikë. Korrigjimi: experimenti numerik është ilustrues, jo vërtetim.

12. Përmbledhje me lidhje konceptuale

Periudha \(\to\) sistemi trigonometrik \(\to\) ortogonaliteti \(\to\) koeficientët \(\to\) simetria \(\to\) projeksioni optimal \(\to\) shumave të pjesshme \(\to\) teorema e konvergjencës.

Për studim të pavarur. Studentët duhet të provojnë në mënyrë të plotë pabarazinë e Bessel-it, të llogarisin koeficientët e funksionit \(|x|\) dhe të japin një kundërshembull ndaj pohimit “koeficientët ekzistojnë, prandaj seria konvergjon kudo”.

Bibliografi orientuese. Ofendija, Analiza Matematike II, kap. XII; Stein–Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, kap. 1; Zygmund, Trigonometric Series, vëll. I. Referencat janë për orientim, jo pretendim për riprodhim tekstual.