Struktura logjike e kapitullit
Libri digjital — Leksioni 06
UNIVERSITETI I SHKODRËS “LUIGJ GURAKUQI”
Fakulteti i Shkencave të Natyrës · Departamenti i Matematikës Seritë e fuqive dhe intervali i konvergjencës
LEKSIONI 06 · CIKLI I I STUDIMEVE NË MATEMATIKË · 2026–2027
Autore: Prof. As. Dr. Siditë Duraj
Pyetja qendrore. Për cilat vlera të ndryshores një polinom i pafundmë përfaqëson një funksion? Çfarë garanton legjitimitetin e derivimit dhe integrimit të tij term pas termi? Përgjigjja ndërtohet nga teoria e konvergjencës uniforme e leksioneve pararendëse.
Objektivat dhe njohuritë paraprake
Studenti duhet (i) të identifikojë qendrën dhe koeficientët; (ii) të provojë teoremën e rrezes; (iii) të llogarisë rrezen me formulën Cauchy–Hadamard dhe raportin kur kushtet e këtij të fundit përmbushen; (iv) të analizojë veçmas secilin skaj; (v) të provojë konvergjencën uniforme në segmente të brendshme; (vi) të justifikojë operacionet term pas termi dhe (vii) të vlerësojë gabimin e përafrimit.
Parakushte: seritë numerike dhe kriteret e tyre; konvergjenca uniforme e vargjeve/serive funksionale; kriteri \(M\) i Vajershtrasit; integrimi dhe derivimi i funksioneve reale.
Përkufizimi dhe analogjia me serinë gjeometrike
Përkufizim 1. Një seri e fuqive me qendër \(c\in\mathbb R\) është \[\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+\cdots,\] ku \((a_n)\) është varg koeficientësh realë. Për një \(x\) të fiksuar merret një seri numerike; bashkësia e konvergjencës përbëhet nga të gjitha pikat ku kjo seri konvergjon.
Shembulli themelor është \[\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},\qquad |x|<1.\] Për \(|x|<1\), nga identiteti për shumën e pjesshme \[S_N(x)=\sum_{n=0}^{N}x^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}\] merret kufiri. Për \(|x|\ge1\) termi i përgjithshëm nuk priret në zero, prandaj seria divergon. Shuma e pjesshme nuk duhet ngatërruar me shumën e pafundme.
Teorema e rrezes dhe formula Cauchy–Hadamard
Teoremë 2 (Cauchy–Hadamard). Vendosim \[L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\in[0,+\infty],\qquad R=\frac{1}{L},\] me konventat \(1/0=+\infty\), \(1/(+\infty)=0\). Atëherë seria \(\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n\) konvergjon absolutisht kur \(|x-c|<R\) dhe divergon kur \(|x-c|>R\). Për \(|x-c|=R\), teorema nuk vendos rezultatin.
Proof. Le të jetë \(t=|x-c|\). Kriteri i rrënjës, për termat absolutë, jep \[\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x-c)^n|}=tL\qquad (t>0),\] ku produkti merret në kuptimin e zakonshëm për \(t>0\), edhe kur \(L=+\infty\). Nëse \(tL<1\), kriteri i rrënjës jep konvergjencë absolute; nëse \(tL>1\), ekzistojnë pafund indekse ku rrënja e termit është më e madhe se një numër \(q>1\), kështu termi nuk mund të priret në zero. Në \(x=c\) vetëm kufiza me \(n=0\) mbetet dhe seria konvergjon. Rastet \(L=0\) dhe \(L=+\infty\) përfshihen në të njëjtin argument: përkatësisht \(R=+\infty\) ose \(R=0\). ◻
Vërejtje 3. Rrezja \(R\) mund të jetë \(0\), e fundme pozitive, ose \(+\infty\). Nuk duhet shkruar \(R=1/L\) pa trajtuar rastet ekstreme dhe pa identifikuar qendrën \(c\).
Propozim 4 (Formula e raportit). Nëse \(a_n\ne0\) për çdo \(n\) mjaft të madh dhe ekziston \[q=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\in[0,+\infty],\] atëherë \(R=1/q\), me të njëjtat konventa.
Proof. Për \(t>0\), raporti i termave absolutë të serisë është \[\frac{|a_{n+1}|t^{n+1}}{|a_n|t^n}=t\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\longrightarrow tq.\] Kriteri i raportit jep konvergjencë absolute kur \(tq<1\) dhe divergjencë kur \(tq>1\). Ky klasifikim përcakton të njëjtën rreze si teorema e mëparshme. Për \(q=0\) dhe \(q=+\infty\) përdoren konventat përkatëse. ◻
Kujdes: raporti mund të mos ekzistojë ose mund të mos përcaktohet për koeficientë që bëhen zero. Në këto raste formula me \(\limsup\) është mjeti i përgjithshëm.
Pikat skajore dhe katër tipe intervalesh
Kur \(0<R<+\infty\), në bashkësinë \(|x-c|<R\) konvergjenca është absolute. Në \(x=c-R\) dhe \(x=c+R\) duhen shqyrtuar dy seri numerike të ndryshme. Për seri reale të fuqive janë të mundshme katër intervale: \[(c-R,c+R),\quad[c-R,c+R),\quad(c-R,c+R],\quad[c-R,c+R].\] Këto forma realizohen, për qendrën zero dhe rrezen një, përkatësisht nga seritë \[\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n},\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^n}{n},\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}.\] Vërtetimi për secilën kërkon kontrollin e dy skajeve me kriterin e termit zero, Leibnizit ose serinë \(p\). Për shembull, seria \(\sum x^n/n\) konvergjon në \(x=-1\) nga Leibnizi, por divergon në \(x=1\) si seria harmonike.
Konvergjenca uniforme lokale
Teoremë 5 (Uniformiteti në çdo segment të brendshëm). Nëse seria ka rreze \(R>0\), atëherë për çdo \(r\) me \(0<r<R\) ajo konvergjon absolutisht dhe uniformisht në \([c-r,c+r]\). Për rrjedhojë shuma është e vazhdueshme në \((c-R,c+R)\).
Proof. Zgjedhim \(s\) të tillë që \(r<s<R\). Nga teorema e rrezes konvergjon seria numerike \(\sum |a_n|s^n\). Për \(|x-c|\le r\): \[|a_n(x-c)^n|\le |a_n|r^n\le |a_n|s^n.\] Kriteri \(M\) i Vajershtrasit jep konvergjencë uniforme në segment. Çdo shumë e pjesshme është polinom, pra funksion i vazhdueshëm; kufiri uniform është i vazhdueshëm në segment. Duke zgjedhur segmente rreth secilës pikë të brendshme, shuma është e vazhdueshme në të gjithë intervalin e hapur. ◻
Dallimi vendimtar. Uniformiteti në çdo segment kompakt brenda intervalit nuk nënkupton uniformitet në intervalin e plotë të hapur. Seria \(\sum x^n\) në \((-1,1)\) është shembull: gabimi i shumës së pjesshme nuk ka supremum të fundmë pranë \(x=1\).
Derivimi dhe integrimi term pas termi
Teoremë 6 (Derivimi i serisë së fuqive). Nëse \(R>0\) dhe \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n,\qquad |x-c|<R,\] atëherë \(f\) është e derivueshme në këtë interval dhe \[\boxed{f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n a_n(x-c)^{n-1}.}\] Seria e derivuar ka të njëjtën rreze \(R\); derivimi mund të përsëritet sa herë të dëshirohet brenda intervalit.
Proof. Nga formula Cauchy–Hadamard dhe \(\lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1\) kemi \[\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{n|a_n|}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R.\] Prandaj seria e derivuar ka të njëjtën rreze (zhvendosja e indeksit nuk e ndryshon atë). Në çdo segment \([c-r,c+r]\), \(r<R\), ajo konvergjon uniformisht, si në teoremën 5. Meqë polinomet \(S_N\) plotësojnë \(S_N(c)=a_0\) dhe \(S_N'\) konvergon uniformisht drejt \(g\), teorema e kalimit në limit për derivatet (Leksioni 5) jep \(f'=g\). ◻
Teoremë 7 (Integrimi term pas termi). Për \(|x-c|<R\) vlen \[\boxed{\int_c^x f(t)\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1}.}\] Seria e integruar ka po atë rreze \(R\).
Proof. Në segmentin që lidh \(c\) me \(x\), seria konvergjon uniformisht; teorema e kalimit të limitit nën integral jep \[\int_c^x \lim_{N\to\infty}S_N(t)\,dt=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^N a_n\int_c^x(t-c)^n\,dt.\] Integrali i secilit term është \(a_n(x-c)^{n+1}/(n+1)\). Për koeficientët \(a_n/(n+1)\), faktori \((n+1)^{1/n}\to1\), prandaj rrezja mbetet \(R\). ◻
Vetitë e shumës dhe uniciteti i koeficientëve
Teoremë 8 (Uniciteti i koeficientëve). Nëse funksioni \(f\) përfaqësohet në një interval të hapur rreth \(c\) nga seria e fuqive \(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n\) me rreze pozitive, atëherë \[\boxed{a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!},\qquad n=0,1,2,\ldots.}\] Prandaj një funksion nuk mund të ketë dy zhvillime të ndryshme në seri fuqish rreth së njëjtës qendër brenda një intervali të përbashkët.
Proof. Teorema e derivimit term pas termi zbatohet vazhdimisht brenda intervalit të konvergjencës. Pas \(n\) derivimeve fitohet \[f^{(n)}(x)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{k!}{(k-n)!}a_k(x-c)^{k-n}.\] Në \(x=c\), të gjithë termat me \(k>n\) zhduken dhe mbetet \(f^{(n)}(c)=n!a_n\). Nëse dy seri përfaqësojnë të njëjtin funksion, kjo formulë i përcakton në mënyrë unike të gjithë koeficientët. ◻
Vërejtje 9. Fakti që \(f\) ka derivate të të gjitha rendeve nuk garanton që seria e Taylor-it konvergjon drejt vetë \(f\). Përfaqësimi me seri fuqish është një veti më e fortë: analiticiteti.
Teorema e Abelit për sjelljen në skajin e intervalit
Teoremë 10 (Abel, formë reale në skajin e djathtë). Le të ketë \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\) rreze konvergjence \(R>0\) të fundme. Nëse seria numerike \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nR^n\) konvergjon me shumë \(S\), atëherë \[\lim_{x\uparrow R}\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=S.\] Teorema analoge vlen në skajin e majtë pas zëvendësimit të ndryshores \(x\) me \(-x\) dhe zhvendosjes së qendrës.
Proof. Shënojmë \(b_n=a_nR^n\) dhe \(t=x/R\in[0,1]\). Nga konvergjenca e serisë \(\sum b_n\), kriteri i Koshit jep: për çdo \(\varepsilon>0\) ekziston \(N\) i tillë që \[\left|\sum_{k=n}^m b_k\right|<\varepsilon,\qquad m\ge n\ge N.\] Për çdo \(t\in[0,1]\), duke përdorur mbledhjen sipas pjesëve (Abel), për \(m\ge n\ge N\) shkruajmë me \(B_j=\sum_{k=n}^j b_k\): \[\sum_{k=n}^m b_kt^k=B_mt^m+\sum_{k=n}^{m-1}B_k(t^k-t^{k+1}).\] Meqë \(|B_j|<\varepsilon\) dhe \(t^k-t^{k+1}\ge0\), kemi \[\left|\sum_{k=n}^m b_kt^k\right|\le\varepsilon t^m+\varepsilon(t^n-t^m)=\varepsilon t^n\le\varepsilon.\] Pra seria \(\sum b_nt^n\) konvergjon uniformisht në \([0,1]\). Shumat e pjesshme janë të vazhdueshme; teorema e vazhdueshmërisë së kufirit uniform jep vazhdimësinë e shumës në \(t=1\). Si rrjedhojë kufiri kur \(t\uparrow1\) është \(\sum b_n=S\). ◻
Përdorimi i saktë: konvergjenca e serisë në një skaj lejon kalimin në atë skaj nga brendësia, por teorema nuk provon vetë konvergjencën në skaj. Kjo duhet vërtetuar më parë në mënyrë të pavarur.
Kontrolli rigoroz i gabimit
Le të jetë \(0<r<s<R\) dhe \(|x-c|\le r\). Shënojmë \(A_s=\sum_{n=0}^\infty|a_n|s^n<\infty\). Për \(n\ge N+1\): \[|a_n|r^n=|a_n|s^n\left(\frac rs\right)^n\le |a_n|s^n\left(\frac rs\right)^{N+1}.\] Prandaj për gabimin \(E_N(x)=f(x)-S_N(x)\) kemi \[\boxed{\sup_{|x-c|\le r}|E_N(x)|\le A_s\left(\frac rs\right)^{N+1}.}\] Ky vlerësim është i sigurt, megjithëse mund të mos jetë optimal. Për serinë gjeometrike në \(|x|\le r<1\) kemi formulën më të mprehtë \[\left|\frac1{1-x}-\sum_{n=0}^Nx^n\right|=\left|\frac{x^{N+1}}{1-x}\right|\le\frac{r^{N+1}}{1-r}.\]
Shembuj të argumentuar
Shembull 11 (Një skaj përfshihet, tjetri jo). Studioni \(\sum_{n=1}^{\infty}(x-2)^n/n\). Raporti i koeficientëve ka limit një, prandaj \(R=1\), dhe brenda \(1<x<3\) kemi konvergjencë absolute. Në \(x=1\) merret \(\sum (-1)^n/n\), konvergjente sipas Leibnizit, jo absolutisht. Në \(x=3\) merret \(\sum 1/n\), divergjente. Bashkësia e konvergjencës është \([1,3)\).
Shembull 12 (Dy skaje të përfshira). Për \(\sum_{n=1}^{\infty}(x+1)^n/n^2\) kemi \(R=1\); në \(x=-2\), \(\sum(-1)^n/n^2\) dhe në \(x=0\), \(\sum1/n^2\) konvergjojnë absolutisht. Bashkësia është \([-2,0]\).
Shembull 13 (Rrezja zero dhe rrezja e pafundme). Për \(\sum n!x^n\) kemi \(\left|a_{n+1}/a_n\right|=n+1\to+\infty\) dhe \(R=0\): vetëm \(x=0\) është pikë konvergjence. Për \(\sum x^n/n!\) raporti është \(1/(n+1)\to0\) dhe \(R=+\infty\): konvergjencë absolute për çdo \(x\in\mathbb R\).
Shembull 14 (Nga seria gjeometrike te logaritmi). Nga \(\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^n\) për \(|t|<1\), duke integruar nga \(0\) në \(x\), fitojmë \[\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n,\qquad |x|<1.\] Në \(x=1\) seria konvergjon te \(\ln2\) (nga Leibnizi dhe vazhdimësia e shumës në atë skaj, që mund të justifikohet me teoremën e Abelit); në \(x=-1\) merret \(-\sum1/n\) dhe divergon.
Gabime të zakonshme dhe udhëzues vendimmarrjeje
Të shpallet intervali \([c-R,c+R]\) pa shqyrtuar dy skajet: përfshirja e tyre nuk rrjedh nga formula e rrezes.
Të përdoret formula e raportit kur limiti nuk ekziston ose koeficientët kanë pafund zero: të përdoret \(\limsup\) i rrënjës.
Të ngatërrohet \(x^n\) me \(x^{2n}\): forma \(\sum(x^2/4)^n\) ka kusht \(|x|<2\), jo \(|x|<4\).
Të derivohet në një pikë skajore vetëm sepse seria fillestare konvergjon atje: teorema e derivimit zbatohet në brendësi.
Të merret grafiku i shumave të pjesshme si provë e konvergjencës uniforme: nevojitet vlerësim analitik i supremumit të mbetjes.
Strategjia: (1) identifiko \(c\) dhe \(a_n\); (2) njehso \(R\); (3) shqyrto zonën e brendshme; (4) zëvendëso veçmas \(x=c\pm R\); (5) klasifiko konvergjencën absolute/kushtore; (6) për derivim, integral ose përafrim shpreh hipotezat dhe kontrollin e gabimit.
Detyra për studim të pavarur
Përcaktoni bashkësinë e konvergjencës së \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n(x-3)^n}{2^n}\).
Studioni \(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(x-1)^n}{n^p}\), \(p>0\), duke klasifikuar skajet sipas \(p\).
Provoni se \(\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}\) ka rreze një si seri në \(x\); tregoni pse formulat e pakujdesshme për \(a_n\) mund të japin përgjigje të gabuara.
Duke nisur nga seria gjeometrike, nxirrni serinë e fuqive për \(1/(1-x)^2\) dhe jepni domenin e vlefshmërisë.
Gjeni një \(N\) që garanton gabim më të vogël se \(10^{-5}\) në \(|x|\le1/2\) për \(\sum_{n=0}^\infty x^n\).
Literatura orientuese
M. Ofendija, Analiza Matematike II, ShBLU, Tiranë, 2005, kap. X (sipas syllabus-it). W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, ed. 3, kapitujt mbi vargjet dhe seritë e funksioneve. T. M. Apostol, Mathematical Analysis, ed. 2, seksionet mbi seritë e fuqive. Këto janë referenca orientuese; formulimet dhe provat e këtij kapitulli janë përgatitur si material didaktik më vete.
Laboratori i animuar: shumat e pjesshme
Ndrysho numrin e termave dhe familjen e serisë. Vija e artë paraqet funksionin kufi, ndërsa vija blu shumën e pjesshme. Grafiku është ilustrim; prova kërkon kriteret teorike.
Vërejtje: animacioni ndihmon kuptimin e konvergjencës, por nuk është vërtetim matematikor. Kur ekranet preferojnë lëvizje të reduktuar, animacioni çaktivizohet.
Ushtrime me zgjidhje rresht pas rreshti
Hapat zbulohen vetëm kur studenti zgjedh “Shfaq hapin tjetër”. Fletorja PDF përmban të dhjetë ushtrimet të zgjidhura integralish.
Kuizi i Leksionit 6
Zgjidh përgjigjet dhe kontrollo argumentimin e çdo pyetjeje.