1. Qëllimi, parakushtet dhe kompetencat

Ky leksion vijon trajtimin e ortogonalitetit dhe koeficientëve të Fourier-it nga Leksioni 5. Pyetja qendrore është kur dhe në çfarë kuptimi një seri e Fourier-it konvergjon drejt funksionit fillestar. Dallojmë me kujdes konvergjencën pikësore, uniforme dhe konvergjencën në mesatare katrore. Formulat për koeficientët nuk mjaftojnë për të përfunduar konvergjencën.

Në fund studenti duhet: të formulojë e të justifikojë kriterin e Dirichlet-it për funksione pjesë-pjesë të lëmuara; të dallojë vlerën e funksionit nga mesatarja e kufijve anësorë në kërcime; të përdorë bërthamat e Dirichlet-it dhe Fejér-it; të analizojë dukurinë e Gibbs-it; të zbatojë identitetin e Parsevalit nën hipoteza të përshtatshme; të arsyetojë lidhjen ndërmjet përafrimit numerik dhe vërtetimit.

Parakushtet: integrale, veti të funksioneve periodike, koeficientët Fourier, integrim me pjesë, konvergjencë e vargjeve dhe serive, vazhdueshmëri uniforme në segmente.

2. Seria e Fourier-it dhe shumat e pjesshme

Për një funksion real, \(2\pi\)-periodik, të integrueshëm në \([-\pi,\pi]\), vendosim

\[a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt,\qquad a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt,\]

\[b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt\quad(n\ge1).\]

Përkufizim 6.1. Seria formale e Fourier-it e \(f\) është

\[\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).\]

Shuma e pjesshme e rendit \(N\) është

\[S_Nf(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).\]

Shkrimi \(f(x)\sim \sum\) shpreh lidhjen e koeficientëve; barazimi \(f(x)=\lim_NS_Nf(x)\) kërkon një teoremë konvergjence.

3. Bërthama e Dirichlet-it dhe formula integrale

Teorema 6.1. Për çdo \(N\ge0\), shuma e pjesshme paraqitet si

\[S_Nf(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)D_N(t)\,dt,\]

ku

\[D_N(t)=1+2\sum_{n=1}^{N}\cos(nt)=\frac{\sin((N+\frac12)t)}{\sin(t/2)}\quad(t\notin2\pi\mathbb Z),\]

ndërsa \(D_N(0)=2N+1\), sipas vazhdimësisë.

Vërtetim. Shkruajmë \(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}f(u)\cos(n(x-u))\,du\). Duke qenë se shuma është e fundme, lejohet ndërrimi me integralin. Pas ndryshimit periodik të ndryshores \(t=x-u\) fitojmë konvolucionin me \(D_N\). Për identitetin e fundit, përdorim \(2\sin(t/2)\cos(nt)=\sin((n+\tfrac12)t)-\sin((n-\tfrac12)t)\); mbledhja teleskopike jep formulën. \(\square\)

Nga ortogonaliteti, \(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(t)\,dt=1\). Kjo nuk e bën \(D_N\) një bërthamë jonegative: ajo luhatet dhe normat e saj \(L^1\) nuk janë të kufizuara në mënyrë uniforme.

4. Konvergjenca pikësore dhe vlera në kërcime

Përkufizim 6.2. Një funksion është pjesë-pjesë \(C^1\) në një periudhë nëse ekziston një ndarje e fundme në nënintervale ku funksioni dhe derivati kanë zgjatime të vazhdueshme njëanësore në skaje. Ky kusht siguron ekzistencën e kufijve anësorë në çdo pikë.

Teorema 6.2 (Dirichlet). Nëse \(f\) është \(2\pi\)-periodik dhe pjesë-pjesë \(C^1\), atëherë për çdo \(x\):

\[\boxed{\lim_{N\to\infty}S_Nf(x)=\frac{f(x-)+f(x+)}2.}\]

Në pikat e vazhdimësisë, kufiri është \(f(x)\). Në një kërcim me kufij të ndryshëm, seria konvergjon drejt mesatares së kufijve anësorë, pavarësisht vlerës së caktuar të \(f(x)\) në atë pikë.

Ide e plotësuar e vërtetimit. Falë \(\int D_N=2\pi\), vendosim \(m=(f(x-)+f(x+))/2\). Përmes simetrisë së bërthamës:

\[S_Nf(x)-m=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi}[f(x+t)+f(x-t)-2m]\,D_N(t)\,dt.\]

Përkufizojmë \(g_x(t)=[f(x+t)+f(x-t)-2m]/[2\sin(t/2)]\), për \(t\in(0,\pi]\). Nga kushti pjesë-pjesë \(C^1\), funksioni \(g_x\) është pjesë-pjesë i kufizuar dhe i integrueshëm: pranë \(0\), numeratori është \(O(t)\) dhe \(\sin(t/2)\asymp t\). Prandaj

\[S_Nf(x)-m=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi}g_x(t)\sin((N+\tfrac12)t)\,dt\longrightarrow0.\]

Kalimi i fundit rrjedh nga lema e Riemann–Lebesgue: për një funksion të integrueshëm \(g\), integrali i \(g(t)\sin(\lambda t)\) shkon në zero kur \(\lambda\to\infty\). Për funksione pjesë-pjesë \(C^1\), kjo vërtetohet drejtpërdrejt duke integruar me pjesë në çdo nëninterval; për funksione të përgjithshme \(L^1\) përdoret përafrimi nga funksionet hap. \(\square\)

Kujdes për kufijtë \(-\pi,\pi\). Ata identifikohen nga zgjatimi periodik. Për \(f(x)=x\) në \((-\pi,\pi)\), në \(x=\pi\) kufijtë anësorë janë \(\pi\) dhe \(-\pi\), prandaj seria konvergjon drejt zeros, jo drejt \(\pi\).

5. Shembull i zgjidhur: funksioni sharrë

Le të jetë \(f(x)=x\) për \(-\pi<x<\pi\), me zgjatim \(2\pi\)-periodik. Funksioni është tek, ndaj \(a_0=a_n=0\). Integrimi me pjesë jep

\[b_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx=\frac{2(-1)^{n+1}}n.\]

Pra, për \(-\pi<x<\pi\):

\[\boxed{x=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}n\sin(nx).}\]

Në \(x=\pm\pi\) shuma është \(0\). Vlera \(f(\pi)\) mund të përcaktohet veçmas; as koeficientët dhe as shuma nuk ndryshojnë nëse ndryshojmë \(f\) në një numër të fundmë pikash.

Pasojë. Për \(x=\pi/2\) dhe duke përdorur sinusët përkatës, merret identiteti i serisë së Leibnizit \(\pi/4=1-1/3+1/5-\cdots\).

6. Konvergjenca uniforme: çfarë lejohet të përfundojmë?

Një varg funksionesh të vazhdueshme që konvergjon uniformisht në një segment ka limit të vazhdueshëm atje. Prandaj shumat \(S_Nf\), të vazhdueshme, nuk mund të konvergjojnë uniformisht në gjithë periudhën drejt një funksioni me kërcim.

Për funksione pjesë-pjesë \(C^1\), konvergjenca është uniforme në çdo segment kompakt që nuk përmban kërcime, por në pikën e kërcimit lind fenomeni i Gibbs-it. Ky pohim nuk do të thotë se konvergjenca është uniforme në të gjithë bashkësinë e pikave të vazhdimësisë pa kufizim shtesë.

Dallim. Konvergjenca pikësore \(S_Nf(x)\to f(x)\) për çdo \(x\) nuk jep vetvetiu konvergjencën uniforme, as lejimin e ndërrimit të limitit me derivimin.

7. Dukuria e Gibbs-it

Për valën katrore \(f(x)=-1\) për \(-\pi<x<0\) dhe \(f(x)=1\) për \(0<x<\pi\), e zgjatur periodikisht, kemi

\[S_Nf(x)=\frac4\pi\sum_{\substack{1\le n\le N\\ n\ \mathrm{tek}}}\frac{\sin(nx)}n.\]

Pranë një kërcimi, shumat e pjesshme shfaqin një mbikalim që nuk zhduket në lartësi kur \(N\) rritet; zona e luhatjeve ngushtohet. Për kërcim me lartësi \(J\), mbikalimi asimptotik mbi vlerën anësore është rreth \(0.08949\,J\) (afërsisht \(8.95\%\) e kërcimit). Në vetë pikën e kërcimit, limiti është mesatarja e kufijve, në këtë rast zero.

Interpretim metodologjik. Rritja e numrit të harmonikëve nuk garanton eliminimin e mbikalimit maksimal. Një grafik me \(N\) të fundmë e ilustron, por prova e kufirit asimptotik kërkon analizë shtesë.

8. Mesataret e Fejér-it: mënyra e përmirësuar e përafrimit

Përkufizim 6.3. Mesatarja e Cesàro-s e shumave të pjesshme është

\[\sigma_N f(x)=\frac1{N+1}\sum_{k=0}^{N}S_kf(x).\]

Ajo paraqitet me bërthamën e Fejér-it:

\[\sigma_Nf(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)F_N(t)\,dt,\]

\[F_N(t)=\frac1{N+1}\left(\frac{\sin((N+1)t/2)}{\sin(t/2)}\right)^2\ge0,\]

me \(F_N(0)=N+1\), dhe \(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N(t)\,dt=1\).

Teorema 6.3 (Fejér). Nëse \(f\) është i vazhdueshëm dhe \(2\pi\)-periodik, atëherë \(\sigma_Nf\to f\) uniformisht në \(\mathbb R\).

Vërtetim. Nga vazhdueshmëria uniforme e \(f\), për çdo \(\varepsilon>0\) ekziston \(\delta>0\) që \(|f(x-t)-f(x)|<\varepsilon\) për \(|t|<\delta\), uniformisht në \(x\). Ndajmë integralin e diferencës \(\sigma_Nf(x)-f(x)\) në \(|t|<\delta\) dhe \(\delta\le|t|\le\pi\). Pjesa e parë ka madhësi jo më shumë se \(\varepsilon\), sepse \(F_N\ge0\) dhe integrali i normalizuar është një. Për pjesën e dytë, \(F_N(t)\le[(N+1)\sin^2(\delta/2)]^{-1}\) dhe \(|f(x-t)-f(x)|\le2\|f\|_\infty\), prandaj ajo shkon në zero uniformisht në \(x\). Si \(\varepsilon\) është arbitrar, provohet pohimi. \(\square\)

Te funksionet me kërcime, mesatarja e Fejér-it konvergjon në pikë drejt mesatares së kufijve anësorë, nën kushtet e përshtatshme të ekzistencës së tyre. Nuk duhet pretenduar konvergjencë uniforme drejt një funksioni jo të vazhdueshëm.

9. Energjia, Bessel dhe Parseval

Teorema 6.4 (pabarazia e Bessel-it). Për \(f\in L^2[-\pi,\pi]\) me koeficientë të Fourier-it:

\[\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)\le\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx.\]

Argumentim. Nga ortogonaliteti i \(f-S_Nf\) me të gjithë përbërësit trigonometrikë të rendit jo më të madh se \(N\):

\[\|f-S_Nf\|_2^2=\|f\|_2^2-\pi\left(\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{N}(a_n^2+b_n^2)\right)\ge0.\]

Kalojmë në limit në shumën jonegative. \(\square\)

Teorema 6.5 (Parseval). Për çdo \(f\in L^2[-\pi,\pi]\):

\[\boxed{\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).}\]

Ky barazim përdor plotësinë e sistemit trigonometrik në \(L^2\), jo vetëm ortogonalitetin. Një justifikim: teorema e Fejér-it jep përafrim uniform të funksioneve periodike të vazhdueshme me polinome trigonometrike; nga dendësia e funksioneve të vazhdueshme në \(L^2\) rezulton dendësia e polinomeve trigonometrike. Pra projeksionet \(S_Nf\) konvergjojnë në normë \(L^2\) dhe identiteti i Pitagorës jep Parsevalin.

Shembull. Për \(f(x)=x\) në \((-\pi,\pi)\), \(b_n=2(-1)^{n+1}/n\) dhe \(a_n=0\). Nga Parseval:

\[\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac4{n^2},\qquad\frac{2\pi^2}{3}=4\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}.\]

Prandaj \(\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}=\pi^2/6\).

10. Gabimet tipike që duhen shmangur

1. Barazimi pa hipoteza: nga njohja e koeficientëve të shkruhet automatikisht \(f=S_\infty f\). Duhet përcaktuar kuptimi i konvergjencës.
2. Vlera në kërcim: të vendoset \(S_\infty f(x_0)=f(x_0)\) pa kontrolluar kufijtë anësorë.
3. Ngatërrimi i konvergjencave: barazimi në \(L^2\) nuk siguron konvergjencë pikësore në çdo pikë për një funksion arbitrar në \(L^2\).
4. Grafiku si provë: rezultatet numerike për një \(N\) të fundmë nuk provojnë sjelljen kur \(N\to\infty\).
5. Gibbs-i: të pretendohet se mbikalimi maksimal zhduket duke rritur harmonikët.
6. Parseval pa plotësi: ortogonaliteti i vetëm jep Bessel-in; barazimi i Parsevalit kërkon plotësinë.

11. Hartë e lidhjeve teorike dhe pyetje seminari

\[\text{Koeficientët e Fourier-it}\ \longrightarrow\ \text{Shumat }S_N\ \longrightarrow\ \begin{cases}\text{Dirichlet: konvergjencë pikësore},\\\text{Fejér: mesatarizim dhe konvergjencë uniforme},\\\text{Parseval: konvergjencë në }L^2.\end{cases}\]

Pyetje për analizë: (i) Pse nuk kemi konvergjencë uniforme drejt valës katrore? (ii) Çfarë përfundimi jep Dirichlet-i në kërcim? (iii) Përse Fejér-i lejon një teoremë uniforme për funksione të vazhdueshme? (iv) Në cilin hap përdoret plotësia e sistemit trigonometrik te Parsevali?

Literaturë orientuese: M. Ofendija, Analiza Matematike II, kapitulli për seritë trigonometrike; E. M. Stein dhe R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003, kapitulli 1; T. M. Apostol, Mathematical Analysis, 2nd ed., trajtimi i serive funksionale dhe ortogonalitetit.