LEKSIONI 08 · LIBËR DIGJITAL UNIVERSITAR

Seritë e Fourier-it dhe zbatimet

Prof. As. Dr. Siditë Duraj

Fakulteti i Shkencave të Natyrës · Departamenti i Matematikës · 2026–2027

Koeficientët, konvergjenca në pikat e kërcimit, dukuria e Gibbs-it, mesataret e Fejérit dhe identiteti i Parsevalit.

Lexo tekstin teorik (PDF)Ushtrime të zgjidhura (PDF)

Përmbajtja teorike e kapitullit

Koeficientët e Fourier-it për një funksion periodik janë:

\[ a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx. \]

Shuma e pjesshme përfshin harmonikët deri te rendi \(N\):

\[ S_Nf(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr). \]

Në kushtet e përshtatshme të rregullsisë pjesore, seria në një pikë kërcimi konvergjon drejt mesatares së kufijve njëanësorë, jo domosdoshmërisht drejt vlerës së përcaktuar të funksionit. Teksti PDF përmban formulimin e saktë të teoremës dhe vërtetimin.

\[\lim_{N\to\infty}S_Nf(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}.\]

Mesatarja e Fejérit përdor mesataren e shumave të pjesshme dhe, për funksione të vazhdueshme periodike, konvergjon uniformisht:

\[\sigma_Nf=\frac{1}{N+1}\sum_{k=0}^{N}S_kf.\]

Identiteti i Parsevalit për funksione reale në \(L^2\):

\[\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).\]

Materiali i plotë, me vërtetime dhe shtjellim të shembujve, gjendet në PDF-në akademike. Ky seksion shërben si hyrje e shpejtë për elementet interaktive.

Harta konceptuale interaktive

Zgjidh një nocion për të parë marrëdhënien e tij me pjesën tjetër të teorisë.

Ortogonaliteti i funksioneve trigonometrike mundëson nxjerrjen e formulave të koeficientëve.

Figura dhe ilustrime matematikore

Shumat e pjesshme të funksionit sharrë.

Luhatjet pranë kërcimit dhe mbikalimi i Gibbs-it.

Mesataret e Fejérit dhe zbutja e luhatjeve.

Përafrimi i funksionit \(|x|\) me harmonikë kosinusë.

Laborator i animuar: Fourier dhe Fejér

Ndrysho rendin e shumës, funksionin dhe mënyrën e përafrimit. Grafiku është eksperiment numerik: provat matematikore mbeten në tekst.

Familja e funksionitMetodaRendi i përafrimit: 9

Në pikat e kërcimit, kontrollo mesataren e kufijve njëanësorë.

Ushtrim i zgjidhur hap pas hapi

Problemi: Gjeni koeficientët e Fourier-it për \(f(x)=x\), \(-\pi

Simetria. Funksioni është tek, prandaj \(a_0=a_n=0\).
Formula e koeficientëve. \(b_n=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin(nx)\,dx\).
Integrimi sipas pjesëve. \(\int x\sin(nx)dx=-\dfrac{x\cos(nx)}n+\dfrac{\sin(nx)}{n^2}\).
Llogaritja në skaje. \(b_n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}n\).
Përfundimi. \(x=2\sum_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n+1}}n\sin(nx)\), për \(-\pi
Kontrolli kritik. Në \(x=\pm\pi\), shuma është zero, mesatarja e kufijve periodikë \(-\pi\) dhe \(\pi\).

0 nga 6 hapa

Fletorja PDF përmban edhe shtatë ushtrime të tjera me zgjidhje të argumentuara.

Kuiz diagnostikues

8 pyetje me një përgjigje të saktë. Pas dorëzimit shfaqen rezultatet dhe arsyetimi për secilën përgjigje.

Kuizi nuk është dorëzuar.

Si të vlerësohet një pohim për konvergjencën

Konvergjenca pikësore, konvergjenca në normën L² dhe konvergjenca uniforme janë tri pohime të ndryshme. Shumat e pjesshme janë projeksione optimale në L²; në kërcime, kufiri pikësor është mesatarja e kufijve njëanësorë. Mesataret e Fejérit konvergjojnë uniformisht kur funksioni periodik është i vazhdueshëm.

Teksti teorik i zgjeruar — Leksioni 8

Dokumenti i zgjeruar përmban vërtetime shtesë, shembuj të punuar dhe analizën e kushteve të vlefshmërisë. Teksti bazë është ruajtur dhe materiali plotësues është integruar në të njëjtin PDF.

Lexo leksionin e zgjeruar në PDF (9 faqe)