LEKSIONI 09 · LIBËR DIGJITAL UNIVERSITAR

Funksionet me disa ndryshore, kufiri dhe vazhdueshmëria

Prof. As. Dr. Siditë Duraj

Fakulteti i Shkencave të Natyrës · Departamenti i Matematikës · 2026–2027

Fusha e përcaktimit, paraqitja tredimensionale, kriteri i Hajnesit, trajektoret, koordinatat polare dhe vazhdueshmëria.

Leksioni i plotë (PDF)Ushtrime të zgjidhura (PDF)

Teksti teorik dhe vërtetimet

1. Funksionet me disa ndryshore

Një funksion real me dy ndryshore është një pasqyrim \(f:D\subset\mathbb R^2\to\mathbb R\). Grafiku është bashkësia \(G_f=\{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in D\}\), kurse bashkësia e nivelit \(c\) është \(N_c=\{(x,y)\in D:f(x,y)=c\}\). Fusha e përcaktimit gjendet duke verifikuar njëkohësisht kushtet e rrënjëve, logaritmeve dhe emëruesve.

2. Kufiri në një pikë grumbullimi

Përkufizim. Le të jetë \(a\) pikë grumbullimi e \(D\). Atëherë \(\lim_{p\to a,\,p\in D}f(p)=L\) do të thotë që për çdo \(\varepsilon>0\) ekziston \(\delta>0\) i tillë që për çdo \(p\in D\):

\[0<\|p-a\|_2<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(p)-L|<\varepsilon.\]

Një \(\delta\) i vetëm duhet të kontrollojë të gjitha trajektoret e afrimit. Ky është dallimi thelbësor nga kufiri i funksionit me një ndryshore.

3. Kriteri i Hajnesit

Teoremë. Kufiri \(\lim_{p\to a}f(p)=L\) ekziston nëse dhe vetëm nëse, për çdo varg \(p_n\in D\setminus\{a\}\) me \(p_n\to a\), vlen \(f(p_n)\to L\).

Vërtetim, drejtimi i parë. Për çdo \(\varepsilon>0\), përkufizimi jep \(\delta>0\). Meqë \(p_n\to a\), ekziston \(N\) që \(0<\|p_n-a\|_2<\delta\) për \(n\ge N\), ndaj \(|f(p_n)-L|<\varepsilon\).

Vërtetim, drejtimi i kundërt. Nëse përkufizimi dështon, ekziston \(\varepsilon_0>0\) dhe për çdo \(n\) mund të zgjidhet \(p_n\in D\) me \(0<\|p_n-a\|_2<1/n\) e \(|f(p_n)-L|\ge\varepsilon_0\). Kështu \(p_n\to a\), ndërsa \(f(p_n)\) nuk priret drejt \(L\); kundërshtim.

4. Trajektoret dhe kundërshembujt

Për \(f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\), përgjatë \(y=0\) kufiri është zero, ndërsa përgjatë \(y=x\) është \(\dfrac12\); prandaj kufiri nuk ekziston. Madje edhe verifikimi përgjatë çdo drejtëze nuk mjafton: funksioni \(h(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\) jep zero përgjatë të gjitha drejtëzave nga origjina, por \(\dfrac12\) përgjatë parabolës \(y=x^2\).

5. Koordinatat polare

Kriter i mjaftueshëm. Nëse \(|f(r\cos\theta,r\sin\theta)-L|\le\omega(r)\) për të gjitha këndet \(\theta\) e lejuara dhe \(\omega(r)\to0\), atëherë kufiri është \(L\). Vlerësimi duhet të vlejë në mënyrë uniforme ndaj këndit.

Vërtetim. Për një \(\varepsilon>0\) zgjedhim \(\delta>0\) që \(0

6. Vazhdueshmëria

Funksioni është i vazhdueshëm në \(a\in D\) nëse për çdo \(\varepsilon>0\) ekziston \(\delta>0\) që \(p\in D\), \(\|p-a\|<\delta\) të sjellë \(|f(p)-f(a)|<\varepsilon\). Në pikat e grumbullimit kjo është ekuivalente me barazinë ndërmjet kufirit dhe vlerës së funksionit. Shuma, prodhimi dhe përbërja e funksioneve të vazhdueshme janë të vazhdueshme në domenin përkatës; herësi kërkon emërues jozero.

Për vërtetimin e unicitetit, teoremën e përbërjes dhe shembujt e plotë, shih tekstin integral PDF. Figura e laboratorit është mjet ilustrues dhe jo zëvendësim i vërtetimit.

Harta konceptuale interaktive

Kushtet e përcaktimit duhet të vlejnë njëkohësisht; ndryshe funksioni nuk ka kuptim.

Figura matematikore origjinale

Grafiku tredimensional i hemisferës.

Trajektoret e ndryshme të afrimit.

Disqet polare në plan.

Bashkësitë e nivelit për funksionin kuadratik.

Laboratori interaktiv — Kufiri sipas trajektoreve

Eksperimento me trajektoret, vlerat e funksionit dhe afrimin drejt origjinës. Rezultati numerik nuk zëvendëson përkufizimin e kufirit.

FunksioniTrajektorjaAfërsia me origjinën: 0.35

Ushtrim me zgjidhje progresive

Problemi. Provo që kufiri i \(\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}\) nuk ekziston, megjithëse përgjatë çdo drejtëze kufiri është zero.

Hapi 1 — Domeni. Shprehja ka kuptim për \((x,y)\ne(0,0)\).
Hapi 2 — Drejtëzat. Për \(y=mx\), \(m\ne0\), kemi \(\dfrac{mx}{x^2+m^2}\to0\).
Hapi 3 — Rastet e veçanta. Për \(y=0\) dhe \(x=0\), shprehja është zero.
Hapi 4 — Parabola. Për \(y=x^2\) marrim \(\dfrac{x^4}{2x^4}=\dfrac12\).
Hapi 5 — Kundërshtimi. Dy rrugë afrimi prodhojnë kufij të ndryshëm.
Hapi 6 — Përfundimi. Kufiri i përgjithshëm nuk ekziston. Kriteri i drejtëzave nuk është provë e mjaftueshme e ekzistencës.

0 nga 6 hapa

Fletorja PDF përmban edhe nëntë ushtrime të tjera të zgjidhura.

Kuiz diagnostikues

8 pyetje me shpjegime pas kontrollit.

Kuizi nuk është dorëzuar.

Strategjia rigoroze për kufijtë me dy ndryshore

Dy trajektore me kufij të ndryshëm e rrëzojnë ekzistencën; për ekzistencë duhet një vlerësim që vlen për të gjitha pikat e domenit pranë qendrës. Në koordinata polare kërkohet kontroll uniform ndaj këndit. Te fletorja e re janë shtuar dy ushtrime me parametër dhe me vërtetim të vazhdueshmërisë uniforme.

Teksti teorik i zgjeruar — Leksioni 9

Dokumenti i zgjeruar përmban vërtetime shtesë, shembuj të punuar dhe analizën e kushteve të vlefshmërisë. Teksti bazë është ruajtur dhe materiali plotësues është integruar në të njëjtin PDF.

Lexo leksionin e zgjeruar në PDF (11 faqe)